С юного детства Всеволод увлекался спортом. Они с братом и их отец вместе катались на коньках, а летом гоняли футбол. Окончив школу, юный Всеволод пошел трудиться на завод «Прогресс». Здесь его приняли в хоккейную команду. На городских турнирах его незаурядный талант в спорте заметили и включили в городскую команду юниоров. Его игра восхищала всех: он легко обходил игроков команды противника, умело играя клюшкой обеими руками. В 1942 году Боброва мобилизовали. Он стал слушателем военного училища. Окончив его, Всеволод получил офицерское звание и его определили в прославленный клуб — ЦДКА. Первая игра Всеволода в новоиспеченной команде состоялась в мае 1945 года. Играли с «Локомотивом». На поле Бобров вышел буквально за несколько минут перед завершением матча. Но последние минуты увенчались успехом, и он смог забить в ворота противника 3 гола, чем вызвал неописуемое ликование публики.
Многие годы у Боброва получалось совмещать футбол с хоккеем. Он — единственный на планете человек, который являлся капитаном сборной по футболу (1952 год) и по хоккею (1956 год). Множество травм решило участь спортсмена: он выбрал один путь — хоккей. Совместно с великими спортсменами того времени, Бобров выигрывал первые места и зарабатывал золото во многих турнирах.
В 1945 году он по приглашению пришёл в московское «Динамо». Он блестяще показал себя в играх со звёздами мирового уровня. Его разгромные победы заставили не только комментаторов, но и болельщиков называть его «золотая нога». В 1946 году Всеволода увлек хоккей, а уже через три года он оказался в команде «ВВС». В 1950 году произошёл трагический случай: команда разбилась в авиакатастрофе. С того момента Всеволод Михайлович становится играющим капитаном, а в 1953 году её лидером. Всеволод не единожды выручал команду от проигрыша. На Олимпийских играх в Хельсинках, сборная Союза терпела поражение со счетом 1:5. Только 20 минут оставалось до завершения матча, когда Всеволод смог забить подряд три гола. В итоге счет игры составил 5:5.
После огромных спортивных успехов Всеволод перешёл на тренерскую работу, где также смог добиться не менее выдающихся успехов. С 1964 по 1967 годы он руководил «Спартаком». Параллельно он подготавливал сборную Союза. Хоккейная команда, им подготовленная, завоевала первенство в 1973 и 1974 годах. Как раз он тот тренер, который смог довести команду до игры с канадскими хоккеистами высокого уровня в 1972 году. Канадцы были так поражены техникой команды соперника, что от себя вручили Боброву золотую медаль.
Врачи констатировали: причина смерти Всеволода Михайловича Боброва — тромбоэмболия лёгочной артерии.
